Question

【題目】如圖所示，異面直線，互相垂直，，，，，，截面分別與，，，相交于點，，，，且平面，平面.

（1）求證：平面；

（2）求銳二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）推導出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能證明BC⊥平面EFGH．

（2）作，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，Cz為z軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正切值．

詳解：（1）∵平面，

又∵平面，平面平面.

∴，同理，

∵，，，

∴，∴.

同理.

∴，同理.

又∵，是平面內(nèi)的兩相交直線.

∴平面.

（2）由（1）及異面直線，互相垂直知，直線，，兩兩垂直.

作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，

∵軸平面，∴平面的一個法向量可設(shè)為，

∵，∴.

得，即，

又∵軸平面，∴平面的一個法向量可設(shè)為.

∴，得，即，

設(shè)銳二面角的大小為，

那么，

∴

∴二面角的正切值為.