Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)，都有.

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)求解導(dǎo)函數(shù)有.結(jié)合函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

(2)二次求導(dǎo)可得.分類討論：

①當(dāng)時(shí)， 對(duì)一切恒成立.

②當(dāng)時(shí)， ， 對(duì)一切不恒成立.

③當(dāng)時(shí)， 對(duì)一切不恒成立.

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論，取，有時(shí)， .則.結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可證得題中的不等式.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

定義域?yàn)?/span>， .

令可得，令可得.

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2），

.

①當(dāng)時(shí)， ， .

故在區(qū)間上遞增，

所以，從而在區(qū)間上遞增.

所以對(duì)一切恒成立.

②當(dāng)時(shí)， ，

.

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， .

所以時(shí)， .

而，故.

所以當(dāng)時(shí)， ， 遞減，

由，知，此時(shí)對(duì)一切不恒成立.

③當(dāng)時(shí)， ，

在區(qū)間上遞減，有，

從而在區(qū)間上遞減，有.

此時(shí)對(duì)一切不恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）由（2）可知，取，當(dāng)時(shí)，有.

取，有，即.

所以

，

所以.