Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對稱，圓心C在第二象限，半徑為．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，求得圓心C（-，-）在x+y-1=0上，且半徑r==．聯(lián)解得D、E的值，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）按直線l經(jīng)過原點、不經(jīng)過原點兩種情況加以討論，分別設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點到直線的距離公式建立關(guān)于參數(shù)k、m的等式，解之即可得到滿足條件的直線l方程．
解答：解：（1）將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+）²+（y+）²=（D²+E²-12）
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑r=
∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對稱，半徑為．
∴---1=0且=，
解之得或
結(jié)合圓心C在第二象限，得C的坐標(biāo)為（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圓C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2
（2）當(dāng)直線l過原點時，設(shè)為y=kx，
可得=，解之得k=，得直線l方程為y=（）x，
當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)l：x+y-m=0
可得=，解之得m=-1或3
此時直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0
綜上所述，與圓C相切且在x軸、y軸上的截距相等的直線l方程為y=（）x或x+y+1=0或x+y-3=0．
點評：本題給出圓C滿足的條件，求圓C方程并求與圓C相切的直線l方程，著重考查了圓的方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．