Question

已知關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（0，2）和B(

1

2

，

3

)；
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁和F₂是焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面積、

Answer 1

分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)A（0，2），B(

1

2

，

3

)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1，代入A、B得

4n=1 1 4 m+3n=1

，由此能求出橢圓方程．
（2）在橢圓x2+

y2

4

=1中，a=2，b=1，c=

a2-b2

=

3

，由點(diǎn)P在橢圓上，知|PF₁|+|PF₂|=2a=4．由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=1，由此得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，從而得到S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（0，2），B(

1

2

，

3

)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
mx²+ny²=1，代入A、B得

4n=1 1 4 m+3n=1

?

m=1 n= 1 4

，
∴所求橢圓方程為x2+

y2

4

=1、（5分）
（2）在橢圓x2+

y2

4

=1中，a=2，b=1、∴c=

a2-b2

=

3

又∵點(diǎn)P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①（6分）
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=12 ②（8分）
把①兩邊平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4（2-

3

），（10分）
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

、（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意公式的靈活選用．