Question

設圓上的點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為2

2

，求圓的方程．

Answer 1

分析：設出圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由圓上的點關于直線的對稱點還在圓上得到圓心在這條直線上，設出圓心坐標，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐標代入圓的方程得到②；由圓與直線x-y+1=0相交的弦長為2

2

，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯立即可求出a、b和r的值，得到滿足題意的圓方程．

解答：解：設所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，
∵點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點A′仍在這個圓上，
∴圓心（a，b）在直線x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
（2-a）²+（3-b）²=r²．②
又直線x-y+1=0截圓所得的弦長為2

2

，
圓心（a，b）到直線x-y+1=0的距離為d=

|a-b+1|

1+1

=

|a-b+1|

2

，
則根據垂徑定理得：r²-（

a-b+1

2

）²=（

2

）²③
解由方程①、②、③組成的方程組得：

b=-3 a=6 r2=52

或

b=-7 a=14 r2=244

∴所求圓的方程為（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244．

點評：此題要求學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用垂徑定理及對稱知識化簡求值，是一道中檔題．學生做題時注意滿足題意的圓方程有兩個．