Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若m＞0，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，易知f（x）在（-∞，0）上遞減，有f（x）＞f（0）=3，再有給出的定義判斷；
（2）由函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，結(jié)合定義則有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再轉(zhuǎn)化為-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立分別求得[-4•2x-(

1

2

)x]max  和[2•2x-(

1

2

)x]min即可；
（3）據(jù)題意先研究函數(shù)g（x）在[0，1]上的單調(diào)性，確定函數(shù)g（x）的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據(jù)上界的定義，T（m）不小于最大值，從而解決．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x
因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域?yàn)椋?，+∞）故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上不是有界函數(shù)．（4分）
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立（6）
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min（7分）
設(shè)2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，由x∈[0，+∞）得t≥1，
設(shè)1≤t₁＜t₂，h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0
所以h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．（10分）
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上遞減，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

（13分）
①當(dāng)|

1-m

1+m

|≥|

1-2m

1+2m

|，即m∈(0，

2

2

]時(shí)，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，（12分）
此時(shí)T(m)≥|

1-m

1+m

|，（14分）
②當(dāng)|

1-m

1+m

|＜|

1-2m

1+2m

|，即m∈[

2

2

，+∞)時(shí)，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，
此時(shí)T(m)≥|

1-2m

1+2m

|，
綜上所述，當(dāng)m∈(0，

2

2

]時(shí)，T（m）的取值范圍是[|

1-m

1+m

|，+∞)；
當(dāng)m∈[

2

2

，+∞)時(shí)，T（m）的取值范圍是[

1-2m

1+2m

，+∞）（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)和方法去解決，本題主要體現(xiàn)了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中要有恒心和毅力．