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          （理科）設函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
          （Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
          （Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
          （Ⅲ）證明：數(shù)學公式．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）＞0，得，，x＞1．
          ∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，在（0，1）為增函數(shù)．…（4分）
          （Ⅱ）由（Ⅰ）知：當x=1時，f（x）max=-1+1=0．
          對任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx-x+1≤0．  即lnx≤x-1．…（8分）
          （Ⅲ）由（Ⅱ）知，，當x≥2時，則，
          ∴，∴=
          又，
          ∴
          故不等式的左邊小于，故要證的不等式成立．…（14分）
          分析：（Ⅰ）由導數(shù)f'（x）＞0求得x的范圍，即為函數(shù)的增區(qū)間，同理，由導數(shù)f'（x）＜0求得x的范圍，即為函數(shù)的減區(qū)間．
          （Ⅱ）由（Ⅰ）知：當x=1時，f（x）max=-1+1=0．故對任意x＞0，有f（x）≤0，由此化簡可得要證的不等式．
          （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x≥2時，則，，故不等式的左邊小于，再由，可得
          ，從而證得不等式成立．
          點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，其中，用放縮法證明不等式，是解題的難點．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （理科）設函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
          （Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
          （Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
          （Ⅲ）證明：
          ln22
          22
          +
          ln32
          32
          +…+
          lnn2
          n2
          ＜
          2n2-n-1
          2(n+1)
          (n∈N+，n≥2)          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （理科）設函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，值域為R且同時滿足下列條件：
          （1）對于任意非零實數(shù)x1，x2，都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；
          （2）對于任意正數(shù)x1，x2，且x1≠x2，都有
          f(x1)-f(x2) x1-x2
          ＞0          ．
          出符合上述條件的一個函數(shù)f（x）
          =log2|x|（答案不唯一）
          =log2|x|（答案不唯一）
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （理科）設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù) M＞0，使|f(x)|≤M|x|對一切實數(shù) x均成立，則f（x）為β函數(shù)．現(xiàn)給出如下4個函數(shù)：（1）f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=
          		2
          （sinx+cosx）；f（x）=
          x
          x2+x+1
          ．其中是β函數(shù)的序號是
          （1）（4）
          （1）（4）
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          （理科）設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù) M＞0，使|f(x)|≤M|x|對一切實數(shù) x均成立，則f（x）為β函數(shù)．現(xiàn)給出如下4個函數(shù)：（1）f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=
          		2
          （sinx+cosx）；f（x）=
          x
          x2+x+1
          ．其中是β函數(shù)的序號是______．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011-2012學年湖北省部分重點中學高三（上）起點數(shù)學試卷（文理合卷）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          （理科）設函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
          （Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
          （Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
          （Ⅲ）證明：．
          

			
          

			
          
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