Question

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)f'（x）＞0求得x的范圍，即為函數(shù)的增區(qū)間，同理，由導(dǎo)數(shù)f'（x）＜0求得x的范圍，即為函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=-1+1=0．故對(duì)任意x＞0，有f（x）≤0，由此化簡(jiǎn)可得要證的不等式．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x≥2時(shí)，則，，故不等式的左邊小于，再由，可得
，從而證得不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）＞0，得，，x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，在（0，1）為增函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=-1+1=0．
對(duì)任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx-x+1≤0．  即lnx≤x-1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，當(dāng)x≥2時(shí)，則，
∴，∴=
又，
∴
故不等式的左邊小于，故要證的不等式成立．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中，用放縮法證明不等式，是解題的難點(diǎn)．