Question

過(guò)拋物線y²=2px（P＞0）的焦點(diǎn)的直線x-my+m=0與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2

2

，則m⁶+m⁴=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程求得m和p的關(guān)系式，進(jìn)而把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，求得方程的解，進(jìn)而根據(jù)直線方程可分別求得y₁和y₂，△OAB的面積可分為△OAP與△OBP的面積之和，而△OAP與△OBP若以O(shè)P為公共底，則其高即為A，B兩點(diǎn)的y軸坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而可表示三角形的面積進(jìn)而求得p，則m的值可得，代入m⁶+m⁴中，即可求得答案．

解答：解：由題意，可知該拋物線的焦點(diǎn)為（

p

2

，0），它過(guò)直線，代入直線方程，可知：

p

2

+m=0求得m=-

p

2

∴直線方程變?yōu)椋簓=-

2

p

x+1
A，B兩點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，
∴它們的坐標(biāo)都滿足這兩個(gè)方程．
∴（-

2

p

x+1）²=2px
∴△=（

4

p

+2p）²-

16

p2

=4p²+16＞0
∴方程的解x₁=

4 p +2p- 4p2+16

8 p2

，
x₂=

4 p +2p+ 4p2+16

8 p2

；
代入直線方程，可知：y₁=1-

4 p +2p- 4p2+16

4 p

，
y₂=1-

4 p +2p+ 4p2+16

4 p

，
△OAB的面積可分為△OAP與△OBP的面積之和，
而△OAP與△OBP若以O(shè)P為公共底，
則其高即為A，B兩點(diǎn)的y軸坐標(biāo)的絕對(duì)值，
∴△OAP與△OBP的面積之和為：
S=

1

2

•

p

2

•|y₁-y₂|=

p2

8

•

4p2+16

=2

2

求得p=2，
∵m=-

p

2

m²=1
∴m⁶+m⁴=1³+1²=1+1=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線，拋物線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．