【題目】如圖，已知三棱柱
中，側(cè)棱與底面垂直，且
，
，
、
分別是
、
的中點，點
在線段
上，且
.
（1）求證：不論
取何值，總有
；
（2）當(dāng)
時，求平面
與平面
所成二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）以點
為坐標(biāo)原點，以
、
、
所在直線分別為
、
、
軸，建立空間直角坐標(biāo)系
，求出向量
和
的坐標(biāo)，通過
可證明出
；
（2）分別求出平面
的一個法向量和平面
的法向量，由此利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．
以點為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
，
.
（1）
，
，
，
.
，
，
因此，無論
取何值，；
（2）當(dāng)
時，
，
，
，
而平面的法向量
，設(shè)平面的法向量為
，
則
，解得
，則
，
設(shè)
為平面與平面所成的銳二面角，則
.
因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)
的值域；
（2）若不等式
對任意
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）證明：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.
其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.
表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表
一級濾芯更換的個數(shù) | 8 | 9 |
頻數(shù) | 60 | 40 |
圖2：二級濾芯更換頻數(shù)條形圖
以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.
（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率；
（2）記
表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）記
分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若
，且
，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知直角梯形ABCD中，
，
，
，將直角梯形ABCD（及其內(nèi)部）以AB所在直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)90°，形成如圖所示的幾何體，其中M為
的中點.
（1）求證：
；
（2）求異面直線BM與EF所成角的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在
中，
，
.已知
分別是
的中點.將
沿
折起，使
到
的位置且二面角
的大小是60°，連接
，如圖：
（1）證明：平面
平面
（2）求平面
與平面
所成二面角的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】焦點在x軸上的橢圓C：
經(jīng)過點
，橢圓C的離心率為
．
，
是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點M為
的中點（O為坐標(biāo)原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)
，使得
；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】己知圓
，圓
．
（1）證明：圓
與圓
有公共點，并求公共點的軌跡
的方程；
（2）已知點
，過點且斜率為
的直線與（1）中軌跡相交于
兩點，記直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，是否存在實數(shù)
使得
為定值？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】三個幾何體組合的正視圖和側(cè)視圖均為如下圖所示，則下列圖中能作為俯視圖的個數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線
上的點到點
的距離比到直線
的距離小
，
為坐標(biāo)原點.
（1）過點
且傾斜角為
的直線與曲線交于
、
兩點，求
的面積；
（2）設(shè)
為曲線上任意一點，點
，是否存在垂直于
軸的直線
，使得被以
為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.
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