Question

如果正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：對任意的正數(shù)M，都存在正整數(shù)n，使得，則稱數(shù)列{a_n}是一個無界正數(shù)列．
（Ⅰ）若a_n=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），分別判斷數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為無界正數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若a_n=n+2，是否存在正整數(shù)k，使得對于一切n≥k，有成立；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取M=5，顯然a_n=3+2sin（n）≤5不符合無界正數(shù)列的定義；對任意的正數(shù)M，取n為大于2M的一個偶數(shù)，符合無界正數(shù)列的定義．
（Ⅱ）變形為從而求得；
（Ⅲ）觀察要證的不等式的結構與（II）相似，故應用（II）變形后，再由{a_n}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列證明．
解答：解：（Ⅰ）{a_n}不是無界正數(shù)列．理由如下：
取M=5，顯然a_n=3+2sin（n）≤5，不存在正整數(shù)n滿足；{b_n}是無界正數(shù)列．理由如下：
對任意的正數(shù)M，取n為大于2M的一個偶數(shù)，有，所以{b_n}是無界正數(shù)列．
（Ⅱ）存在滿足題意的正整數(shù)k．理由如下：
當n≥3時，
因為==，
即取k=3，對于一切n≥k，有成立．
注：k為大于或等于3的整數(shù)即可．

（Ⅲ）證明：因為數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的正數(shù)列，
所以=．
即．
因為{a_n}是無界正數(shù)列，取M=2a₁，由定義知存在正整數(shù)n₁，使．
所以．
由定義可知{a_n}是無窮數(shù)列，考察數(shù)列，，，
顯然這仍是一個單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)n₂，使得．
重復上述操作，直到確定相應的正整數(shù)n₄₀₁₈．
則=n₄₀₁₈-2009．
即存在正整數(shù)m=n₄₀₁₈，使得成立．
點評：本題通過情境設置定義新的數(shù)列在研究中滲透著不等式的構造、變形、放縮，培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力．