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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          如果正數數列{an}滿足:對任意的正數M,都存在正整數n0,使得an0>M,則稱數列{an}是一個無界正數列.
          (Ⅰ)若an=3+2sin(n)(n=1,2,3,…),bn=
          1
          n
          n=1,3,5,…
          n+1
          2
          n=2,4,6,…
          分別判斷數列{an}、{bn}是否為無界正數列,并說明理由;
          (Ⅱ)若an=n+2,是否存在正整數k,使得對于一切n≥k,有
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          +…+
          an
          an+1
          <n-
          1
          2
          成立;
          (Ⅲ)若數列{an}是單調遞增的無界正數列,求證:存在正整數m,使得
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          +…+
          am
          am+1
          <m-2009
          分析:(Ⅰ)取M=5,顯然an=3+2sin(n)≤5不符合無界正數列的定義;對任意的正數M,取n0為大于2M的一個偶數,bn0=
          n0+1
          2
          2M+1
          2
          >M
          符合無界正數列的定義.
          (Ⅱ)
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          +…+
          an
          an+1
          <n-
          1
          2
          變形為n-(
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          )=
          a2-a1
          a2
          +
          a3-a2
          a3
          ++
          an+1-an
          an+1
          從而求得;
          (Ⅲ)觀察要證的不等式的結構與(II)相似,故應用(II)變形后,再由{an}是單調遞增的無界正數列證明.
          解答:解:(Ⅰ){an}不是無界正數列.理由如下:
          取M=5,顯然an=3+2sin(n)≤5,不存在正整數n0滿足an0>5;{bn}是無界正數列.理由如下:
          對任意的正數M,取n0為大于2M的一個偶數,有bn0=
          n0+1
          2
          2M+1
          2
          >M
          ,所以{bn}是無界正數列.
          (Ⅱ)存在滿足題意的正整數k.理由如下:
          當n≥3時,
          因為n-(
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          )
          =
          a2-a1
          a2
          +
          a3-a2
          a3
          ++
          an+1-an
          an+1
          =
          1
          4
          +
          1
          5
          ++
          1
          n+3
          1
          4
          +
          1
          5
          +
          1
          6
          1
          2

          即取k=3,對于一切n≥k,有
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          <n-
          1
          2
          成立.
          注:k為大于或等于3的整數即可.

          (Ⅲ)證明:因為數列{an}是單調遞增的正數列,
          所以n-(
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          )
          =
          a2-a1
          a2
          +
          a3-a2
          a3
          ++
          an+1-an
          an+1
          a2-a1
          an+1
          +
          a3-a2
          an+1
          ++
          an+1-an
          an+1
          =
          an+1-a1
          an+1
          =1-
          a1
          an+1

          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          <n-1+
          a1
          an+1

          因為{an}是無界正數列,取M=2a1,由定義知存在正整數n1,使an1+1>2a1
          所以
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an1
          an1+1
          n1-
          1
          2

          由定義可知{an}是無窮數列,考察數列an1+1,an1+2an1+3,
          顯然這仍是一個單調遞增的無界正數列,同上理由可知存在正整數n2,使得
          an1+1
          an1+2
          +
          an1+2
          an1+3
          ++
          an2
          an2+1
          <(n2-n1)-
          1
          2

          重復上述操作,直到確定相應的正整數n4018
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an4018
          an4018+1
          <(n1-
          1
          2
          )+(n2-n1-
          1
          2
          )++(n4018-n4017-
          1
          2
          )
          =n4018-2009.
          即存在正整數m=n4018,使得
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          am
          am+1
          <m-2009
          成立.
          點評:本題通過情境設置定義新的數列在研究中滲透著不等式的構造、變形、放縮,培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力.
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          (2)若bn=
          1
          an+2
          ln(
          1
          an+2
          )
          ,求數列{bn}的前n項和Tn;
          (3)當p=
          7
          10
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          2
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          1
          4
          ,S3=
          7
          4
          證明:數列{Sn}是Ω數列;
          (3)設數列{dn}是各項均為正整數的Ω數列,求證:dn≤dn+1

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          1
          8
          (a n+2)2
          (n∈N*).
          (1)求數列{an}的通項公式;
          (2)設bn=
          8
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          ,(n∈N*)且數列{bn}的前n項和為Tn,如果Tn<m2-m-5對一切n∈N*成立,求正數m的取值范圍.

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