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        1. 如果正數(shù)數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意的正數(shù)M,都存在正整數(shù)n0,使得an0>M,則稱數(shù)列{an}是一個(gè)無界正數(shù)列.
          (Ⅰ)若an=3+2sin(n)(n=1,2,3,…),bn=
          1
          n
          n=1,3,5,…
          n+1
          2
          n=2,4,6,…
          分別判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為無界正數(shù)列,并說明理由;
          (Ⅱ)若an=n+2,是否存在正整數(shù)k,使得對(duì)于一切n≥k,有
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          +…+
          an
          an+1
          <n-
          1
          2
          成立;
          (Ⅲ)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列,求證:存在正整數(shù)m,使得
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          +…+
          am
          am+1
          <m-2009
          分析:(Ⅰ)取M=5,顯然an=3+2sin(n)≤5不符合無界正數(shù)列的定義;對(duì)任意的正數(shù)M,取n0為大于2M的一個(gè)偶數(shù),bn0=
          n0+1
          2
          2M+1
          2
          >M
          符合無界正數(shù)列的定義.
          (Ⅱ)
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          +…+
          an
          an+1
          <n-
          1
          2
          變形為n-(
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          )=
          a2-a1
          a2
          +
          a3-a2
          a3
          ++
          an+1-an
          an+1
          從而求得;
          (Ⅲ)觀察要證的不等式的結(jié)構(gòu)與(II)相似,故應(yīng)用(II)變形后,再由{an}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列證明.
          解答:解:(Ⅰ){an}不是無界正數(shù)列.理由如下:
          取M=5,顯然an=3+2sin(n)≤5,不存在正整數(shù)n0滿足an0>5;{bn}是無界正數(shù)列.理由如下:
          對(duì)任意的正數(shù)M,取n0為大于2M的一個(gè)偶數(shù),有bn0=
          n0+1
          2
          2M+1
          2
          >M
          ,所以{bn}是無界正數(shù)列.
          (Ⅱ)存在滿足題意的正整數(shù)k.理由如下:
          當(dāng)n≥3時(shí),
          因?yàn)?span id="lydylgj" class="MathJye">n-(
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          )=
          a2-a1
          a2
          +
          a3-a2
          a3
          ++
          an+1-an
          an+1
          =
          1
          4
          +
          1
          5
          ++
          1
          n+3
          1
          4
          +
          1
          5
          +
          1
          6
          1
          2
          ,
          即取k=3,對(duì)于一切n≥k,有
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          <n-
          1
          2
          成立.
          注:k為大于或等于3的整數(shù)即可.

          (Ⅲ)證明:因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增的正數(shù)列,
          所以n-(
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          )
          =
          a2-a1
          a2
          +
          a3-a2
          a3
          ++
          an+1-an
          an+1
          a2-a1
          an+1
          +
          a3-a2
          an+1
          ++
          an+1-an
          an+1
          =
          an+1-a1
          an+1
          =1-
          a1
          an+1

          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an
          an+1
          <n-1+
          a1
          an+1

          因?yàn)閧an}是無界正數(shù)列,取M=2a1,由定義知存在正整數(shù)n1,使an1+1>2a1
          所以
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an1
          an1+1
          n1-
          1
          2

          由定義可知{an}是無窮數(shù)列,考察數(shù)列an1+1an1+2,an1+3
          顯然這仍是一個(gè)單調(diào)遞增的無界正數(shù)列,同上理由可知存在正整數(shù)n2,使得
          an1+1
          an1+2
          +
          an1+2
          an1+3
          ++
          an2
          an2+1
          <(n2-n1)-
          1
          2

          重復(fù)上述操作,直到確定相應(yīng)的正整數(shù)n4018
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          an4018
          an4018+1
          <(n1-
          1
          2
          )+(n2-n1-
          1
          2
          )++(n4018-n4017-
          1
          2
          )
          =n4018-2009.
          即存在正整數(shù)m=n4018,使得
          a1
          a2
          +
          a2
          a3
          ++
          am
          am+1
          <m-2009
          成立.
          點(diǎn)評(píng):本題通過情境設(shè)置定義新的數(shù)列在研究中滲透著不等式的構(gòu)造、變形、放縮,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,且(p-1)Sn=p2-an,(n∈N*,p>0,p≠1),
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)若bn=
          1
          an+2
          ln(
          1
          an+2
          )
          ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
          (3)當(dāng)p=
          7
          10
          時(shí),數(shù)列{bn}中是否存在最小項(xiàng)?若存在說明是第幾項(xiàng),如果不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•上海二模)如果無窮數(shù)列{an}滿足下列條件:①
          an+an+2
          2
          ≤an+1;②存在實(shí)數(shù)M,使an≤M.其中n∈N*,那么我們稱數(shù)列{an}為Ω數(shù)列.
          (1)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=5n-2n,且是Ω數(shù)列,求M的取值范圍;
          (2)設(shè){cn}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是其前項(xiàng)和,c3=
          1
          4
          ,S3=
          7
          4
          證明:數(shù)列{Sn}是Ω數(shù)列;
          (3)設(shè)數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的Ω數(shù)列,求證:dn≤dn+1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=
          1
          8
          (a n+2)2
          (n∈N*).
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=
          8
          anan+1
          ,(n∈N*)且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,如果Tn<m2-m-5對(duì)一切n∈N*成立,求正數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年北京市海淀區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如果正數(shù)數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意的正數(shù)M,都存在正整數(shù)n,使得,則稱數(shù)列{an}是一個(gè)無界正數(shù)列.
          (Ⅰ)若an=3+2sin(n)(n=1,2,3,…),分別判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為無界正數(shù)列,并說明理由;
          (Ⅱ)若an=n+2,是否存在正整數(shù)k,使得對(duì)于一切n≥k,有成立;
          (Ⅲ)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列,求證:存在正整數(shù)m,使得

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