Question

奇函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當x≥0時，f（x）=2x-x²．
（1）求函數(shù)y=f（x），x∈R的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]的值域為[

1

b

，

1

a

]，（a≠b）求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，代入已知解析式結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得；
（2）可得ab同號，分a＜b＜0，和0＜a＜b兩類，解方程可得結(jié)果，注意不同段的解析式即可．

解答：解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，故f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²，
由于函數(shù)為奇函數(shù)，故可得-f（x）=f（-x）=-2x-x²，
所以f（x）=2x+x²，故函數(shù)y=f（x），x∈R的解析式為：
f（x）=

2x+x2，   x＜0 2x-x2，  x≥0

；
（2）由x∈[a，b]的值域為[

1

b

，

1

a

]，可知a＜b，且

1

b

＜

1

a

，
故可得

1

b

-

1

a

=

a-b

ab

＜0，所以ab＞0，即ab同號，
當a＜b＜0時，由函數(shù)的最小值為f（-1）=-1可知

1

b

≥-1，解得b≤-1，
故a，b落在函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，故有f（a）=

1

a

，f（b）=

1

b

，
當0＜a＜b時，由函數(shù)的最大值為f（1）=1可知

1

a

≤1，解得a≥1，
故a，b落在函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，故也有f（a）=

1

a

，f（b）=

1

b

，
整理可得ab為方程x³-2x²+1=0，即（x-1）（x²-x-1）=0的根，
解之可得a=1，b=

5 +1

2

．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)的值域，分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．