Question

若R上的奇函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當0＜x≤1時，f（x）=log₂x，則方程f(x)=

1

4

+f(0)在區(qū)間（2010，2012）內的所有實數根之和為（　�。�

A．4020

B．4022

C．4024

D．4026

Answer 1

分析：由奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1時，f（x）=log₂x，數形結合，可求得方程f（x）=

1

4

+f（0）=

1

4

在區(qū)間（2010，20121）內的所有實根之和．

解答：解：∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數，故f（0）=0，
∵f（x）=f（0）+

1

4

∴f（x）=

1

4

∵0＜x≤1時，f（x）=log₂x≤0，
∴f（x）=

1

4

在（0，1）內沒有一實根，在（-1，0）內有一實數根x₁
又函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=

1

4

在（2，3）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，
當2010＜x＜2012時，函數的圖象與2＜x＜4的圖象一樣
∴原方程在區(qū)間（2010，2012）內的實根有2個，設為a，b，則

a+b

2

=2011
∴a+b=4022
故選B

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷及奇偶函數圖象的對稱性，關鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結合0＜x≤1時，f（x）=log₂x與奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，數形結合予以解決，屬于中檔題．