Question

（2012•北海一模）定義在R上的奇函數(shù)y=f（x），對(duì)任意不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，若不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，則當(dāng)1≤x≤4時(shí)，

y

x

的取值范圍為

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)；再利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得f（-x）=-f（x），二者相結(jié)合及不等式得（x-y）（x+y-2）≥0，結(jié)合

y

x

的幾何意義可求范圍

解答：解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以有函數(shù)f（-x）=-f（x）
∵f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0
∴f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y）
∴x²-2x≥y²-2y即（x-y）（x+y-2）≥0，又1≤x≤4
∴

x-y≥0 x+y-2≥0 1≤x≤4

或

x-y≤0 x+y-2≤0 1≤x≤4

作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所求的陰影部分，
令k=

y

x

，則k的幾何意義是在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，與原點(diǎn)（0，0）連線的斜率
由

x=4 y=x

可得C（4，4），由

x=4 y+x-2=0

可得B（4，-2）
∵K_OC=K_OA=1，KOB=-

1

2

結(jié)合圖形可知，-

1

2

≤

y

x

≤1
故答案為[-

1

2

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題．關(guān)鍵點(diǎn)有兩處：①判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；②利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（-x）=-f（x）③明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義