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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          (理)設關于x的方程x2-mx-1=0有兩個實根α、β,且α<β.定義函數f(x)=.

          (1)求αf(α)+βf(β)的值;

          (2)判斷f(x)在區(qū)間(α,β)上的單調性,并加以證明;

          (3)若λ、μ為正實數,證明不等式:|f()-f()|<|α-β|.

          (文)如圖,在平面直角坐標系中,已知動點P(x,y),PM⊥y軸,垂足為M,點N與點P關于x軸對稱,且=4.

          (1)求動點P的軌跡W的方程;

          (2)若點Q的坐標為(2,0),A、B為W上的兩個動點,且滿足QA⊥QB,點Q到直線AB的距離為d,求d的最大值.

          答案:(理)解:(1)∵α、β是方程x2-mx-1=0的兩個實根,

          ∴f(α)=.

          同理,f(β)=.∴αf(α)+βf(β)=2.

          (2)∵f(x)=,∴f′(x)==.

          當x∈(α,β)時,x2-mx-1=(x-α)(x-β)<0,

          ∴f′(x)>0.∴f(x)在(α,β)上為增函數.

          (3)∵λ,μ∈R+,且α<β,∴

          .∴α<<β.

          由(2)可知f(α)<f()<f(β),同理,可得f(α)<f()<f(β).

          ∴f(α)-f(β)<f()-f()<f(β)-f(α).

          ∴|f()-f()|<|f(α)-f(β)|.

          又由(1)知f(α)=,f(β)=,αβ=-1,

          ∴|f(α)-f(β)|=|-|=||=|α-β|.∴|f()-f()|<|α-β|.

          (文)解:(1)由已知M(0,y),N(x,-y).

          =(x,y)·(x,-2y)=x2-2y2=4,即=1.

          (2)設A(x1,y1),B(x2,y2),如圖,由QA⊥QB可得,

          =(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0.

          ①若直線AB⊥x軸,則x1=x2,|y1|=|y2|=,且y1、y2異號,此時(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)2=0則x12-8x1+12=0,

          解之,得x1=6或x1=2.若x1=2,則直線AB過Q點,不可能有QA⊥QB.

          若x1=6,則直線AB的方程為x=6,此時Q點到直線AB的距離為4.

          ②若直線AB斜率存在,設直線AB的方程為y=kx+m,則

          (2k2-1)x2+4kmx+2m2+4=0.

          又x1+x2=,x1x2=.

          ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

          =.

          =(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2

          =

          則m2+8km+12k2=0,可得m=-6k或m=-2k.若m=-2k,則直線AB的方程為y=k(x-2),此直線過點Q,這與QA⊥QB矛盾,故舍去.若m=-6k,則直線AB的方程為y=kx-6k,即kx-y-6k=0.

          此時若k=0,則直線AB的方程為y=0,顯然與QA⊥QB矛盾,故k≠0.

          ∴d=.

          由①②可得,dmax=4.

          說明:其他正確解法按相應步驟給分.

          練習冊系列答案
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          5

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          a=
          2
          5
          -
          2
          3
          <a<-
          2
          7
          a=
          2
          5
          -
          2
          3
          <a<-
          2
          7

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          (Ⅲ)若為正實數,證明不等式:

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          (04年福建卷理)(14分)

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          (Ⅰ)求實數a的值組成的集合A;

          (Ⅱ)設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問:是否存在實數m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

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