Question

（理）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x．若關(guān)于x的方程f（x）=ax有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a=

2

5

或-

2

3

＜a＜-

2

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意先求出函數(shù)的周期，要使關(guān)于x的方程f（x）=ax有5個(gè)不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個(gè)交點(diǎn)
都是奇函數(shù)其中有一個(gè)交點(diǎn)肯定是原點(diǎn)，只需考慮（0，+∞）有兩個(gè)交點(diǎn)即可，畫出圖象即可求出a的值．

解答：解：因?yàn)閒（1+x）-f（1-x）=0恒成立，且f（x）是奇函數(shù)
所以f（x）是周期為4的周期函數(shù)（且該函數(shù)最大值與最小值分別為2和-2）
要使關(guān)于x的方程f（x）=ax有5個(gè)不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個(gè)交點(diǎn)
都是奇函數(shù)其中有一個(gè)交點(diǎn)肯定是原點(diǎn)，只需考慮（0，+∞）有兩個(gè)交點(diǎn)即可
畫出函數(shù)圖象如下：

當(dāng)a=

2

5

（  即 f（x）=ax過點(diǎn)（5，2））時(shí)，恰好5個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a＜0時(shí)，a的范圍在（k₁，k₂）之間，K₁=-

2

3

，k₂=-

2

7

，即-

2

3

＜a＜-

2

7

故答案為：a=

2

5

或-

2

3

＜a＜-

2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．