Question

已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求∠F₁AF₂的平分線所在直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），離心率e=

1

2

，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（2）求得AF₁方程、AF₂方程，利用角平分線性質(zhì)，即可求得∠F₁AF₂的平分線所在直線l的方程；
（3）假設(shè)存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)出直線BC方程代人

x2

16

+

y2

12

=1，求得BC中點(diǎn)代入直線2x-y-1=0上，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），離心率e=

1

2

∴

a2-b2 a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1

，
∴a²=16，b²=12
∴橢圓方程E為：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∵A（2，3），
∴AF₁方程為：3x-4y+6=0，AF₂方程為：x=2
設(shè)角平分線上任意一點(diǎn)為P（x，y），則

|3x-4y+6|

5

=|x-2|．                       
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率為正，∴直線方程為2x-y-1=0；
（3）假設(shè)存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，∴kBC=-

1

2

∴直線BC方程為y=-

1

2

x+m代人

x2

16

+

y2

12

=1得x²-mx+m²-12=0，
∴BC中點(diǎn)為(

m

2

，

3m

4

)
代入直線2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴BC中點(diǎn)為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，考查對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．