Question

已知關于x的函數(shù)f(x)=

ax-a

ex

(a≠0)
（Ⅰ）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）+1沒有零點，求實數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=-1時，求函數(shù)f（x）的導數(shù)，利用導數(shù)判定f（x）的單調性與極值并求出；
（Ⅱ）求F（x）的導數(shù)，利用導數(shù)判定F（x）的單調性與極值，從而確定使F（x）沒有零點時a的取值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-aex(x-2)

(ex)2

=

-a(x-2)

ex

，x∈R．
當a=-1時，f（x），f'（x）的情況如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以，當a=-1時，函數(shù)f（x）的極小值為-e^-2．
（Ⅱ）F′(x)=f′(x)=

-a(x-2)

ex

．
①當a＜0時，F(xiàn)（x），F(xiàn)'（x）的情況如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

因為F（1）=1＞0，
若使函數(shù)F（x）沒有零點，需且僅需F(2)=

a

e2

+1＞0，解得a＞-e²，
所以此時-e²＜a＜0；
②當a＞0時，F(xiàn)（x），F(xiàn)'（x）的情況如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

因為F（2）＞F（1）＞0，且F(1-

10

a

)=

e1- 10 a -10

e1- 10 a

＜

e-10

e1- 10 a

＜0，
所以此時函數(shù)F（x）總存在零點．
綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是{a|-e²＜a＜0}．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值情況，以及根據(jù)函數(shù)的單調性和極值討論函數(shù)的零點問題，是易錯題．