Question

18、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G為棱AD、AB、A₁A的中點．
（1）求證：平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）求異面直線FG、B₁C所成的角．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理，結合正方體的幾何特征，我們易得EF∥B₁D₁，同理可得GE∥B₁C，進而根據(jù)面面平行的判定定理即可得到平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）根據(jù)正方體的幾何特征，我們可得A₁A⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，可得B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）根據(jù)（1）中結論GE∥B₁C，我們易得∠EGF即為異面直線FG、B₁C所成的角，解三角形GEF即可得到答案．

解答：解：（1）連接BD，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
對角線BD∥B₁D₁，
又∵E、F為棱AD、AB的中點．
∴EF∥BD
∴EF∥B₁D₁，
同理可證：GE∥B₁C，
又∵EF∩GE=E，B₁D₁∩B₁C=B₁，
∴平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁A⊥B₁D₁，
又∵在正方體A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
A₁A∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，
又∵B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）由（1）得GE∥B₁C，
故∠EGF即為異面直線FG、B₁C所成的角
由正方體的幾何牲易得EF=EG=FG
∴△EGF為等邊三角形，∠EGF=60°
即異面直線FG、B₁C所成的角為60°

點評：本題考查的知識點是平面與平面平行的判定，異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，其中熟練掌握正方體的幾何特征，分析出其中線段的平行和垂直關系，結合面面平行及面面垂直的判定定理，對結論進行論證是解答本題的關鍵．