Question

（2010•南京三模）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P在第一象限，PF₁⊥PF₂，⊙O的方程為x²+y²=4
（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)，并判斷直線PF₂與⊙O的位置關(guān)系；
（2）是否存在不同于點(diǎn)A的定點(diǎn)B，對于⊙O上任意一點(diǎn)M，都有

MB

MA

為常數(shù)，若存在，求所以滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用PF₁⊥PF₂，以及點(diǎn)P在橢圓上聯(lián)立即可求點(diǎn)P坐標(biāo)以及直線PF₂的方程，再利用圓心到直線的距離和半徑相比即可判斷直線PF₂與⊙O的位置關(guān)系；
（2）假設(shè)存在，代入

MB

MA

為常數(shù)利用等式對所有的點(diǎn)M成立來求滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，n），因?yàn)镻F₁⊥PF₂，所以有

PF 1

•

pF2

=0故有

(m- 5 )• (m+ 5 )+n2 =0 m2 9 + n2 4 =1

⇒

m2= 9 5 n2= 16 5

．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限
所以P（

3 5

5

，

4 5

5

）．
故kpF2=-2．直線PF₂的方程為2x+y-2

5

=0．
又因?yàn)椋?，0）到直線PF₂的距離d=2=r．
故直線PF₂與⊙O的位置關(guān)系是相切．
（2）設(shè)B（a，b），M（x，y），

MB

MA

為常數(shù)

k

，⇒（x-a）²+（y-b）²=k（x+3）²+ky²．又因?yàn)閤²+y²=4．
所以有4-2ax-2by+a²+b²-4k-6kx-9k=0⇒x（-2a-6k）-2by+a²+b²+4-13k=0．對所有x，y都成立，所以

-2b=0 -2a-6k=0 a2+b2+4-13k=0

⇒

b=0 k=1 a=-3

或

b=0 k= 4 9 a=- 4 3

又因?yàn)槎�點(diǎn)B不同于點(diǎn)A，故所求點(diǎn)B為（-

4

3

，0）．

點(diǎn)評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當(dāng)判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以利用圓心到直線的距離與半徑的大小相比求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立利用對應(yīng)方程的判別式與0的大小關(guān)系求解．