Question

【題目】某工廠用7萬元錢購買了一臺新機(jī)器，運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元，每年投保、動(dòng)力消耗的費(fèi)用也為2千元，每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類推，即每年增加1千元.

（1）求使用n年后，保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計(jì)費(fèi)用S（千元）關(guān)于n的表達(dá)式；

（2）問這臺機(jī)器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費(fèi)用（單位：千元）的最小值.（最佳使用年限是指使年平均費(fèi)用最小的時(shí)間，年平均費(fèi)用=（購入機(jī)器費(fèi)用+運(yùn)輸安裝費(fèi)用+每年投保、動(dòng)力消耗的費(fèi)用+保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計(jì)費(fèi)用）÷機(jī)器使用的年數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）最佳年限是12年，平均費(fèi)用為15.5千元.

【解析】

(1)根據(jù)已知可得保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用成等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)公式，可得累計(jì)費(fèi)用的表達(dá)式;

(2) 由(1)得到平均費(fèi)用的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可得年平均費(fèi)用的最小值.

（1）因?yàn)榈谝荒隇?千元，第二年為3千元，第三年為4千元，每年增加1千元，

故每年的費(fèi)用構(gòu)成一個(gè)以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

所以前n年的總費(fèi)用

（2）設(shè)使用年的年平均費(fèi)用為，則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，取最小值

故最佳年限是12年，平均費(fèi)用為15.5千元.