Question

對于空間四個不同的點A，B，C，D，有下面5個命題：
①若AB與CD共面，則AC與BD共面；
②若AB與CD異面，則AC與BD異面；
③若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，則AD⊥BC；
⑤若AB=AC=AD，BC=CD=DB，則A，B，C，D一定是正三棱錐的四個頂點．
則以上正確的命題序號是    ； （注：填上全部正確的命題序號．）

Answer 1

【答案】分析：由直線的位置關系定義，判斷①②正確；③的證明可轉借化證明BC⊥面AHD；
④的證明可轉化為證垂心，然后再證明BC⊥面AED來證明BC⊥AD；
⑤由正三棱錐的定義來判斷即可．
解答：解：①若AB與CD共面，則AC與BD共面，顯然①正確；
②若AB與CD異面，則AC與BD異面，顯然②正確；
③取BC的中點H，連接AH與DH，可證得BC⊥面AHD，進而可得BC⊥AD，故③正確；
④作AE⊥面BCD于E，連接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，證得E是垂心，則可得得出DE⊥BC，
進而可證得BC⊥面AED，即可證出BC⊥AD．故④正確；
⑤雖有AB=AC=AD，BC=CD=DB，當A，B，C，D在同一平面內，四點不構成三棱錐，故⑤不正確．
故答案為 ①②③④
點評：本題在判斷時有一定的難度，需要構造相關的圖形，在立體幾何中，構造法是一個常用的方法，本題用其來將線線證明轉化線面證明