Question

對(duì)于空間四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，有下面5個(gè)命題：
①若AB與CD共面，則AC與BD共面；
②若AB與CD異面，則AC與BD異面；
③若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，則AD⊥BC；
⑤若AB=AC=AD，BC=CD=DB，則A，B，C，D一定是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)．
則以上正確的命題序號(hào)是

①②③④

； （注：填上全部正確的命題序號(hào)．）

Answer 1

分析：由直線的位置關(guān)系定義，判斷①②正確；③的證明可轉(zhuǎn)借化證明BC⊥面AHD；
④的證明可轉(zhuǎn)化為證垂心，然后再證明BC⊥面AED來(lái)證明BC⊥AD；
⑤由正三棱錐的定義來(lái)判斷即可．

解答：解：①若AB與CD共面，則AC與BD共面，顯然①正確；
②若AB與CD異面，則AC與BD異面，顯然②正確；
③取BC的中點(diǎn)H，連接AH與DH，可證得BC⊥面AHD，進(jìn)而可得BC⊥AD，故③正確；
④作AE⊥面BCD于E，連接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，證得E是垂心，則可得得出DE⊥BC，
進(jìn)而可證得BC⊥面AED，即可證出BC⊥AD．故④正確；
⑤雖有AB=AC=AD，BC=CD=DB，當(dāng)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，四點(diǎn)不構(gòu)成三棱錐，故⑤不正確．
故答案為 ①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題在判斷時(shí)有一定的難度，需要構(gòu)造相關(guān)的圖形，在立體幾何中，構(gòu)造法是一個(gè)常用的方法，本題用其來(lái)將線線證明轉(zhuǎn)化線面證明