Question

根據(jù)程序設(shè)定，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：從原點(diǎn)O出發(fā)，以勻速v（m/s）沿東偏北α（α為（0，

π

2

）內(nèi)的變量）方向或正北方向行走，且方向改變的時(shí)間不定．記機(jī)器人行走t（s）時(shí)的可能落點(diǎn)P的區(qū)域?yàn)棣�，則Ω的面積與（vt）²的比值為

π

4

-

1

2

．

Answer 1

分析：設(shè)改變方向的點(diǎn)為M，過M作x軸的垂線，垂足為N，根據(jù)速度和時(shí)間求出|OM|+|PM|的長，在△OPM中然后根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊列出一個(gè)不等式，然后在△OMN中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊列出另外一個(gè)不等式，然后再根據(jù)x≥0，y≥0，在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)橐粋�(gè)弓形，利用四分之一圓的面積減去等腰直角三角形的面積即可求出弓形的面積．

解答：解：設(shè)改變方向的點(diǎn)位M，則OM+MP=vt
△OPM中，OM+MP≥OP（O，M，P共線時(shí)取等號）
∴OP≤vt即x²+y²≤（vt）²
△OMN中，OM≤ON+MN（O，M，N三點(diǎn)共線時(shí)取等號）
∴OM+MP≤ON+MN+MP=x+y
即vt≤x+y
機(jī)器人行走t（s）時(shí)的可能落點(diǎn)P的區(qū)域?yàn)棣�，則

x≥0，y≥0 x+y≥vt x2+y2≤(vt)2

，所表示的平面區(qū)域?yàn)椋?）中的弓形
∴面積S=

1

4

×π×(vt)2-

1

2

(vt)2=(vt)2)(

π

4

-

1

2

)
∴

S

(vt)2

=

π

4

-

1

2

故答案為：

π

4

-

1

2

（1）

（2）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出x，y滿足的條件，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．