Question

根據(jù)程序設(shè)定，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點O沿正東偏北α（）方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但α的大小以及何時改變方向不定．如圖．假定機器人行走速度為10米/分鐘，設(shè)機器人行走2分鐘時的可能落點區(qū)域為S，則S的面積（單位：平方米）等于（ ）

A．100π
B．100π-200
C．400-100π
D．200

Answer 1

【答案】分析：設(shè)改變方向的點為M，過M作x軸的垂線，垂足為N，根據(jù)速度和時間求出|OM|+|PM|的長，在△OPM中然后根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊列出一個不等式，然后在△OMN中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊列出另外一個不等式，然后再根據(jù)x大于等于0，y大于等于0，在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域為一個弓形，如圖所示，利用四分之一圓的面積減去等腰直角三角形的面積即可求出弓形的面積．
解答：解：設(shè)改變方向的點為M，
依題意|OM|+|MP|=10×2=20米，
△OPM中，|OM|+|MP|≥|OP|（當(dāng)O、M、P共線時“=”成立），
∴|OP|≤20，即x²+y²≤400，
又△OMN中，|OM|≤|ON|+|MN|（當(dāng)O、M、N共線時“=”成立），
∴|OM|+|MP|≤|ON|+|MN|+|MP|=x+y，
∴x+y≥20
∴區(qū)域S：為弓形，
則面積為π20²-×20×20=100π-200．
故選B．
點評：此題考查學(xué)生會進行簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．