Question

已知f（x）=(1+

2

x-1

)-2(x＞1)．
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的解析式及其定義域；
（2）判斷函數(shù)f^-1（x）在其定義域上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若當(dāng)x∈(

1

16

，

1

4

]時，不等式(1-

x

)．f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x，y互換，解得y即可．
（2）用單調(diào)性定義證明，先任取兩變量，界定大小，再作差變形看符號．
（3）將反函數(shù)代入，整理為不等式

x

(1+a)＞a2-1恒成立求解，注意討論．

解答：解：（1）令y=x，則有x=(1+

2

y-1

)-2
解得：f-1(x)=

1+ x

1- x

(x∈(0，1))；（4分）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f-1(x1)-f-1(x2)=

1+ x1

1- x1

-

1+ x2

1- x2

=

2( x1 - x2 )

(1- x1 )(1- x2 )

=

2( x1 - x2 )( x1 + x2 )

(1- x1 )(1- x2 )( x1 + x2 )

=

2(x1-x2)

(1- x1 )(1- x2 )( x1 + x2 )

由0＜x₁＜x₂＜1，有所以f^-1（x₁）-f^-1（x₂）＜0，即函數(shù)f^-1（x）在其定義域上的單調(diào)遞增．（8分）
（3）當(dāng)x∈(

1

16

，

1

4

]時，不等式(1-

x

)．f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，
即不等式

x

(1+a)＞a2-1恒成立
當(dāng)1+a＞0即a＞-1時，原命題等價于a＜

x

+1恒成立，由x∈(

1

16

，

1

4

]
所以a≤

5

4

，從而得-1＜a≤

5

4

當(dāng)1+a=0即a=-1時，不等式

x

(1+a)＞a2-1不成立
當(dāng)1+a＜0即a＜-1時，原命題等價于a＞

x

+1恒成立，
由x∈(

1

16

，

1

4

]所以a＞

3

2

，又a＜-1，所以a不存在．綜上可得：-1＜a≤

5

4

．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查如何求函數(shù)的反函數(shù)，單調(diào)性定義證明及不等式恒成立問題．