Question

（2012•湛江模擬）已知函數(shù)f（x）的圖象由函數(shù)g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1個單位得到．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值是m，且m＞

7

，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)進行求解；
（2）把a=1代入f（x），再根據(jù)均值不等式進行求解；
（3）對f（x）進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，對a進行討論，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而進行求解；

解答：解：（1）∵已知函數(shù)f（x）的圖象由函數(shù)g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1個單位得到
依題意：f（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

（2）當(dāng)a=1時，f（x）=

3

4

•2^x+

3

2x

≥2•

3 4 •2x• 3 2x

=3；
（3）∵f′（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x•ln2+

(4a-1)

2x

•ln

1

2

=

ln2[( 1 a - 1 4 )•(2x)2-(4a-1)]

2x

，
∴由f′（x）＞0，得：（

4-a

4a

）•（2^x）²＞4a-1  ①
①當(dāng)

4-a 4a ＜0 4a-1＜0

，即a＜0，時，（2^x）²＞

4a(4a-1)

4a

，
當(dāng)x＜log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)x＞log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數(shù)f（x）遞減，
∴函數(shù)f（x）只有最大值，矛盾；
②當(dāng)

4-a 4a ＞0 4a-1≤0

，即0＜a≤

1

4

時，①式的解集為R，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
不存在最小值；
③當(dāng)

4-a 4a ≤0 4a-1＞0

，即a≥4時，①式的解集為∅．
此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，不存在最小值；
④當(dāng)

4-a 4a ＞0 4a-1＞0

，即

1

4

＜a＜4時，（2^x）²＞

4a(4a-1)

4-a

，
∴當(dāng)x＞log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)x＜log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數(shù)f（x）遞減，
∴函數(shù)f（x）當(dāng)=log₂

4a(4a-1) 4-a

時，有最小值2

(4-a)(4a-1) 4a

，
∴2

(4-a)(4a-1) 4a

＞

7

，
∴

1

2

＜a＜2，
綜上所述，滿足題意設(shè)條件的實數(shù)a的取值范圍是（

1

2

，2）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數(shù)，y變小就是減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度比較大；