Question

【題目】已知函數(shù)為常數(shù)）.曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ) 設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).

證明：對(duì)任意，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

(Ⅲ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；

(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(Ⅲ)等價(jià)于 設(shè)，且的最大值為.則. 設(shè)且，從而有則 .

因此，對(duì)任意，.

(Ⅰ) 解:由可得.

而，即，解得.

(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，

設(shè)，則.即在上是減函數(shù).

由知，當(dāng)時(shí)，，從而；

當(dāng)時(shí)，，從而.

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(Ⅲ) 證明:因?yàn)?/span>，所以，.

對(duì)任意，等價(jià)于.

設(shè)，，

則，.

當(dāng)時(shí)，，故有單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，故有單調(diào)遞減.

所以，的最大值為.則.

設(shè)

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

則.即，從而有.

則 .

因此，對(duì)任意，.