Question

利民工廠生產的某種產品，當年產量在150T至250T之內，當年生產的總成本y（萬元）與年產量x（T）之間的關系可近似地表示為．
（I）當年產量為多少噸時，每噸的平均成本最低，并求每噸最低平均成本；
（II）若每噸平均出廠價為16萬元，求年生產多少噸時，可獲得最大的年利潤，并求最大年利潤．

Answer 1

解：（I）設每噸的平均成本為W（萬元/T），
則，（4分）
當且僅當，x=200（T）時每噸平均成本最低，且最低成本為10萬元．（6分）
（II）設年利潤為u（萬元），則=．（11分）
所以當年產量為230噸時，最大年利潤1290萬元．（12分）
分析：（I）利用總成本除以年產量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（II）利用收入減去總成本表示出年利潤；通過配方求出二次函數的對稱軸；由于開口向下，對稱軸處取得最大值．
點評：本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用基本不等式求函數的最值需滿足：
正、二定、三相等、考查求二次函數的最值關鍵看對稱軸．