Question

在(

2

x+

3	3

y)100的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有

 

項．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出通項，令各項的指數(shù)為整數(shù)，求出系數(shù)為有理數(shù)的項．

解答：解：(

2

x+

3	3

y)100的展開式的通項T_r+1=C₁₀₀^r•（(

2

x)100-r•(

3	3

y)r=C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，
該項的系數(shù)為C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，，
要滿足C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，是有理數(shù)，則r應是6的倍數(shù)．
∵0≤r≤100且r∈Z，∴r=0，6，12，18，，96
∴系數(shù)為有理數(shù)的項共有17項．
故答案為17

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．