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        1. 如圖所示,某城市有南北街道和東西街道各n+1條,一郵遞員從該城市西北角的郵局A出發(fā),送信到東南角B地,要求所走路程最短.
          (1)求該郵遞員途徑C地的概率f(n);
          (2)求證:2<[2f(n)]2n+1<3,(n∈N*).
          分析:(1)求得所走路程最短共有
          C
          n+1
          2n+2
          種不同的走法,其中途徑C地的走法有2
          C
          n
          2n
          種走法,由此可得郵遞員途徑C地的概率f(n) 的值.
          (2)由2f(n)=
          2(n+1)
          2n+1
          =1+
          1
          2n+1
          ,得只要證且n≥3 時(shí),2<(1+
          1
          n
          )
          n
          <3 即可.利用放縮法證明 2<(1+
          1
          n
          )
          n
          (1+
          1
          n
          )
          n
          <3,從而證明不等式成立.
          解答:解:(1)郵遞員從該城市西北角的郵局A到達(dá)東南角B地,要求所走路程最短共有
          C
          n+1
          2n+2
          種不同的走法,其中途徑C地的走法有2
          C
          n
          2n
          種走法,
          所以郵遞員途徑C地的概率f(n)=
          2
          n
          2n
          C
          n+1
          2n+2
          =
          2(2n)!
          (n!)2
          [(n+1)!]2
          (2n+2)!
          =
          n+1
          2n+1

          (2)由2f(n)=
          2(n+1)
          2n+1
          =1+
          1
          2n+1
          ,得[2f(n)]2n+1=(1+
          1
          2n+1
          )
          2n+1

          要證 n∈N*時(shí),2<[2f(n)]2n+1<3,
          只要證 n∈N* 時(shí),2<(1+
          1
          2n+1
          )
          2n+1
          <3,
          因?yàn)?nbsp; n∈N* 時(shí),2n+1∈N*,且 2n+1≥3,
          所以只要證 n∈N* 時(shí),且n≥3 時(shí),2<(1+
          1
          n
          )
          n
          <3.  
          由于n≥3 時(shí),(1+
          1
          n
          )
          n
          =
          C
          0
          n
          +
          C
          1
          n
          1
          n
          +
          C
          2
          n
          (
          1
          n
          )
          2
          +…+
          C
          n
          n
          (
          1
          n
          )
          n
          C
          0
          n
          +
          C
          1
          n
          1
          n
          =2,
          且  (1+
          1
          n
          )
          n
          =
          C
          0
          n
          +
          C
          1
          n
          1
          n
          +
          C
          2
          n
          (
          1
          n
          )
          2
          +…+
          C
          n
          n
          (
          1
          n
          )
          n
          =2+
          n(n-1)
          2!
          1
          n2
          +
          n(n-1)(n-2)
          3!
          1
          n3
          +…+
          n•(n-1)•(n-2)•3•2•1
          n!
          1
          nn
            
          =2+
          1
          2!
          n
          n
          n-1
          n2
          +
          1
          3!
          n
          n
          n-1
          n
          n-2
          n
          +…+
          1
          n!
          n
          n
          n-1
          n
          n-2
          n
          2
          n
          1
          n
          <2+
          1
          2!
          +
          1
          3!
          +…+
          1
          n!
           
          <2+
          1
          1×2
          +
          1
          2×3
          +
          1
          3×4
          +…+
          1
          n(n-1)
          =2+(
          1
          1
          -
          1
          2
          )
          +(
          1
          2
          -
          1
          3
          )
          +(
          1
          3
          -
          1
          4
          )
          +…+(
          1
          n-1
          -
          1
          n
          )
          =3-
          1
           n 
          <3. 
          綜上可得:2<(1+
          1
          n
          )
          n
          <3 成立,即 2<[2f(n)]2n+1<3成立.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查排列、組合以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,等可能事件的概率,用放縮法證明不等式,屬于難題.
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