Question

過拋物線y²=4x的焦點F作直線l與拋物線交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證：△AOB不是直角三角形；
（Ⅱ）當l的斜率為

1

2

時，拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形且B為直角（點B位于x軸下方）？若存在，求出所有的點C；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分情況證明：①當直線l斜率不存在時，容易證明；②當直線l斜率存在時，設直線AB方程為x=ky+1，與拋物線方程聯(lián)立方程組消去x得y的二次方程，利用韋達定理可求

OA

•

OB

，由計算結(jié)果即可證明；
（Ⅱ）由已知可求得AB方程，與拋物線方程聯(lián)立求得A，B坐標，假設拋物線上存在點C（t²，2t）使△ABC為直角三角形且B為直角，由

BA

•

BC

=0可求得t值，從而可求得C點坐標，經(jīng)驗證可得答案．

解答：（Ⅰ）證明：①當直線l斜率不存在時，顯然△AOB不是直角三角形；
②當直線l斜率存在時，焦點F為（1，0），過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設為x=ky+1，
代入拋物線y²=4x，得y²-4ky-4=0，則有y_Ay_B=-4，進而xAxB=

yA2

4

•

yB2

4

=1，
又|

OA

||

OB

|cos∠AOB=

OA

•

OB

=xAxB+yAyB=-3＜0，
所以∠AOB為鈍角，即△AOB不是直角三角形．
（Ⅱ）AB方程：x-2y-1=0，代入拋物線y²=4x，求得A(9+4

5

，4+2

5

)，B(9-4

5

，4-2

5

)，
假設拋物線上存在點C（t²，2t）使△ABC為直角三角形且B為直角，
此時

BA

•

BC

=0，所以t2+t-(11-5

5

)=0，解得t1=2-

5

，對應點B，t2=-3+

5

，對應點C，
則存在C(14-6

5

，-6+2

5

)使△ABC為直角三角形，
故滿足條件的點C只有一個，即C(14-6

5

，-6+2

5

)．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查向量在判斷三角形形狀中的應用，考查學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力，（Ⅱ）中要注意檢驗C點是否符合題意．