Question

設(shè)P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=30°，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A．

  16 3

  3

• B．16(2-

  3

  )
• C．16(2+

  3

  )
• D．16

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程算出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0）、F₂（3，0）．由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=10，△PF₁F₂中用余弦定理得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=36，兩式聯(lián)解可得|PF₁|•|PF₂|=64（2-

3

），最后根據(jù)三角形面積公式即可算出△PF₁F₂的面積．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
∴a²=25，b²=16，得a=5且b=4，c=

25-16

=3，
因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0）、F₂（3，0）．
根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=30°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4c²=36，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=36+（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=100
因此，|PF₁|•|PF₂|=

64

2+ 3

=64（2-

3

），
可得△PF₁F₂的面積為S=

1

2

•|PF₁|•|PF₂|sin30°=16(2-

3

)
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)所張的角為30度，求焦點(diǎn)三角形的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．