Question

設(shè)P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上任意一點(diǎn)，A和F分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程設(shè)出P的參數(shù)坐標(biāo)，求得A，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而分別表示出

PA

，

PF

，

AF

代入

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

化簡(jiǎn)整理求得其最小值．

解答：解：P的參數(shù)坐標(biāo)為（5cosθ，4sinθ）；
坐標(biāo)A（-5，0）；F（3，0）；
則

PA

=（-5-5cosθ，0-4sinθ）；

PF

=（3-5cosθ，0-4sinθ）；
則

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

=（-5-5cosθ）•（3-5cosθ）+16sin²θ+

1

4

（-5-5cosθ，-4sinθ）•（8，0）
=（-5-5cosθ）（3-5cosθ）+16sin²θ+2（-5-5cosθ）
=9cos²θ-9≥-9．
故答案為：-9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，參數(shù)坐標(biāo)的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．