Question

【題目】已知橢圓： 的焦距為2，過短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為，過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)垂直于的直線與軸交于點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為．（2）．

【解析】試題分析：（1）建立方程組， ， 橢圓的方程為；（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程得， 為線段的中點(diǎn)，再求得的方程為．

試題解析：

（1）過短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的半徑為，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意知，

又，解得， ， ，

所以橢圓的方程為．

（2）設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的方程為，

將其代入，得，

設(shè)， ，

則， ，

∴，

因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又直線的斜率為，

直線的方程為，

令，得，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，解得．