Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且在x=1處的切線方程是y=2x+1．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3）求得c的值，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由在x=1處的切線方程是y=2x+1得到f′（1）=4a+2b=2，f（1）=a+b+c=3，聯(lián)立后進(jìn)一步求得a，b的值，則y=f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）直接由導(dǎo)函數(shù)大于0求解不等式得y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），得
f（0）=c=3  ①
又∵f′（x）=4x³+2bx，∴f′（1）=4a+2b=2  ②
∵x=1處的切線方程是y=2x+1，有y=2+1=3，且點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴f（1）=a+b+c=3  ③
聯(lián)立①②③得：a=1，b=-1，c=3．
∴f（x）=x⁴-x²+3；
（Ⅱ）∵f′（x）=4x³-2x=2x（2x²-1），
由f′（x）＞0，得-

2

2

＜x＜0或x＞

2

2

，
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

2

2

，0)，(

2

2

，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵是明確導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，是中檔題．