Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2．  
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）求出c，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上建立一等式關(guān)系，解方程組即可；
（2）首先對(duì)f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1求導(dǎo)，可得f'（x）=10x³-9x，令f′（x）＞0解之即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則c=1，
f'（x）=4ax³+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）
切點(diǎn)為（1，-1），則f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1），
得a+b+c=-1，得a=

5

2

，b=-

9

2

f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1（8分）
（2）f'（x）=10x³-9x＞0，-

3 10

10

＜x＜0，或x＞

3 10

10

單調(diào)遞增區(qū)間為（，-

3 10

10

，0），（

3 10

10

，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用，注意導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式的正確運(yùn)用與導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于基礎(chǔ)題．