Question

已知

a

=(sinα，cosα)，

b

=(cosβ，sinβ)，

b

+

c

=(2cosβ，0)，

a

•

b

=

1

2

，

a

•

c

=

1

3

．
（1）求cos2（α+β）+tanα•cotβ的值．（說明：cotβ=

cosβ

sinβ

）
（2）若0＜α+β＜

π

2

，

π

2

＜α-β＜π，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量減法運(yùn)算先求出

c

向量的坐標(biāo)，用條件中兩組向量的數(shù)量積寫出關(guān)于三角函數(shù)的關(guān)系式，利用二倍角公式和切化弦的思想，把要求的結(jié)果變?yōu)橐阎�中出現(xiàn)的結(jié)論，代入數(shù)值得到結(jié)果．
（2）本題主要是角的變換問題，根據(jù)所給的角的三角函數(shù)值和角的范圍，求出要用的角的三角函數(shù)值，根據(jù)2α=（α+β）+（α-β），以整體思想來處理角的問題．

解答：解：（1）由已知

c

=(

b

+

c

)-

b

=(2cosβ，0)-(cosβ，sinβ)=(cosβ，-sinβ)
∵

a

•

b

=

1

2

，

a

•

c

=

1

3

∴

sin(α+β)= 1 2 sin(α-β)= 1 3

∴

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

∴cos2(α+β)+tanα•cotβ=cos2(α+β)+

sinαcosβ

cosαsinβ

=1-(

1

2

)2×2+

5 12

1 12

=

11

2

（2）sin(α+β)=

1

2

，0＜α+β＜

π

2

，∴cos(α+β)=

3

2

sin(α-β)=

1

3

，

π

2

＜α-β＜π
∴cos(α-β)=-

2

3

2

∴cos2α=cos[(α+β)+cos(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-

1+2 6

6

點(diǎn)評：向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的．