Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，求證不等式解集為空集.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）在上只有一個(gè)零點(diǎn)（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，計(jì)算得到答案.

（2）求導(dǎo)得到，分類討論，和三種情況得到答案.

（3）原題等價(jià)于恒成立，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最小值得到證明.

（1）的定義域?yàn)?/span>.

令，得

當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減.

綜上所述：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

（2）函數(shù)，

令，解得

，

當(dāng)時(shí)，在上遞減，有.所以.

所以有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增.

此時(shí)，所以有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：在上只有一個(gè)零點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)，不等式解集為空集,等價(jià)于在定義域內(nèi)恒成立.

即在定義域內(nèi)恒成立.

令.

，令，得

列表得

	—	0	+
	遞減	最小值	遞增

因?yàn)?/span>，所以.

又，所以

所以恒成立.所以不等式解集為空集