Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點(diǎn)，G是AA₁上一點(diǎn)，且AC₁⊥EG.
（Ⅰ）確定點(diǎn)G的位置；
（Ⅱ）求直線AC₁與平面EFG所成角θ的大小.

Answer 1

（Ⅰ）中點(diǎn)（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)，分別以CB、CA、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），

設(shè)G（0，2，h），則
∴－1×0+1×（－2）+2h="0. " ∴h=1，即G是AA₁的中點(diǎn). 
（Ⅱ）設(shè)是平面EFG的法向量，則
所以平面EFG的一個(gè)法向量m=（1，0，1）
∵
∴，即AC₁與平面EFG所成角為 
解法二：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)DE、DG，則ED//BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.

又CC₁⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC₁⊥ED.
∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁.
又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG.
連結(jié)A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C//DG.
∵D是AC的中點(diǎn)，∴G是AA_­1的中點(diǎn).
（Ⅱ）取CC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)GM、FM，則EF//GM，
∴E、F、M、G共面.作C₁H⊥FM，交FM的延長(zhǎng)線于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，
C₁H平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC//GM，∴GM⊥C₁H. ∵GM∩FM=M，
∴C₁H⊥平面EFG，設(shè)AC₁與MG相交于N點(diǎn)，所以∠C₁NH為直線AC₁與平面EFG所成角θ.
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