Question

（2009•臺(tái)州二模）在等比數(shù)列{a_n}中，滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂、a₄的等差中項(xiàng)，且an＜an+1，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂、a₄的等差中項(xiàng)，a_n＜a_n+1，求出首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由bn=

n

an

，確定通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂+a₃+a₄=28，a₂+a₄=2（a₃+2），a_n＜a_n+1得a₁=2，q=2．…（4分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2•2n-1=2n．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=

n

an

=

n

2n

，Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

…（12分）
∴Tn=2-

n+2

2n

，…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．