Question

如圖,三棱錐V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°.

(1)求證：V、A、B、C四點(diǎn)在同一球面上;

(2)過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直,

求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形.

Answer 1

證明：(1)取VC的中點(diǎn)M，

    ∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°,

    ∴BC⊥VB．在Ｒｔ△VBC中，M為斜邊VC的中點(diǎn)，

    ∴ＭB＝ＭC＝ＭV.

    同理,在Ｒｔ△VAC中，ＭA＝ＭV＝ＭC.

    ∴ＭV＝ＭC＝ＭA＝ＭB.∴V、A、B、C四點(diǎn)在同一圓面上，M是球心.

     (2)取AC、AB、VB的中點(diǎn)分別為N、P、Q，連結(jié)NP、PQ、QM、MN,則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V—ABC的截面，易證PQMN是平行四邊形.

    又VA⊥BC，ＱP∥VA，NP∥BC，∴ＱP⊥PN.

    故截面MNPＱ是矩形.