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        1. 已知定義在區(qū)間(-1、1)上的函數(shù)f(x)=
          mx+n
          x2+1
          為奇函數(shù).且f(
          1
          2
          )=
          2
          5

          (1)、求實數(shù)m、n的值.
          (2)、解關于 t 的不等式f(t-1)+f(t-2)<0.
          分析:(1)根據(jù)f(x)是在區(qū)間(-1、1)上的奇函數(shù),則f(0)=0,求出n的值,然后根據(jù)f(
          1
          2
          )=
          2
          5
          求出m的值即可.
          (2)先根據(jù)定義法判定函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)f(x)為奇函數(shù)則f(t-2)<-f(t-1)=f(1-t),根據(jù)單調(diào)性和定義域建立不等式組,解之即可求出所求.
          解答:解:(1)∵f(x)是在區(qū)間(-1、1)上的奇函數(shù).
          ∴f(x)=
          x
          1+x2
          ∴f(o)=n=o
          又f(
          1
          2
          )=
          m
          2
          +n
          1+
          1
          4
          =
          2
          5
          ∴m=1…(6分)
          (2)設-1<x1<x2<1則f(x1)-f(x2)=
          x1
          1+x12
          -
          x2
          1+x22
          =
          (x1-x2)(1-x1x2)
          (1+x12)(1+x22)

          ∴-1<x1<x2<1∴x1-x2<01-x1x2>0(1+x12)(1+x22)>0
          ∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)在區(qū)間(-1、1)上是增函數(shù).
          ∴f(t-1)+f(t-2)<0.且f(x)為奇函數(shù)∴f(t-2)<-f(t-1)=f(1-t)
          又∴函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1、1)上的增函數(shù).∴
          t-2<1-t
          -1<t-2<1
          -1<1-t<1
          1<t<
          3
          2

          故關于t的不等式的解集為{t|1<t<
          3
          2
           }
          …(13分)
          注:單調(diào)性的證明用求導或用熟悉函數(shù)(如打鉤函數(shù))性質(zhì)證明也可.
          點評:本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,以及利用函數(shù)的單調(diào)性求解有關不等式,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)=
          ax+b
          x2+1
          為奇函數(shù).且f(
          1
          2
          )=
          2
          5

          (1)、求實數(shù)a、b的值.
          (2)、求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù).
          (3)、解關于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (I)計算:0.25×(-
          1
          2
          )-1-4÷(
          5
          -1)0-(
          1
          27
          )-
          1
          3
          +lg25+2lg2
          ;
          (II)已知定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.解關于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)=
          ax+b
          1+x2
          為奇函數(shù),且f(
          1
          2
          )=
          2
          5

          (1)求實數(shù)a,b的值;
          (2)用定義證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù);
          (3)解關于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在區(qū)間(-1,1)上的偶函數(shù)f(x),在(0,1)上為增函數(shù),f(a-2)-f(4-a2)<0,求實數(shù)a的取值范圍.

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