Question

（2013•鄭州一模）已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcosc=2a-c．
（I）求B；
（II）若b=2，△ABC的面積為

3

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）由條件利用正弦定理得2sinBcosC=2sinA-sinC，化簡得sinC（2cosB-1）=0，由此求得cosB=

1

2

，可得B的值．
（2）S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，求得ac=4，再由余弦定理求得a+c=4．又ac=4，可得a=c=2，從而得出結論．

解答：解：（1）由正弦定理得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，∴sinC（2cosB-1）=0．
又∵0＜C＜π，sinC＞0，∴cosB=

1

2

，注意到0＜B＜π，∴B=

π

3

．-----（6分）
（2）∵S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，∴ac=4，----（8分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∴（a+c）²=b²+3ac=16，∴a+c=4，----（10分）
又ac=4，所以a=c=2，
故△ABC是等邊三角形．----（12分）

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．