Question

【題目】現(xiàn)有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運(yùn)動(dòng)場地，如圖所示，其中是足球場地邊線所在的直線，球門處于所在直線的正中間位置，足球運(yùn)動(dòng)員（將其看做點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)場上觀察球門的角稱為視角．

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿著邊線奔跑時(shí)，設(shè)到底線的距離為碼，試求當(dāng)為何值時(shí)最大；

（2）理論研究和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明：張角越大，射門命中率就越大．現(xiàn)假定運(yùn)動(dòng)員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運(yùn)球，運(yùn)動(dòng)到視角最大的位置即為最佳射門點(diǎn)，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求在球場區(qū)域內(nèi)射門到球門的最佳射門點(diǎn)的軌跡.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）要求得最大，只需最大，利用，將其展開后表示為關(guān)于x的函數(shù)，利用基本不等式求得最值.

（2）設(shè)點(diǎn)，其中，，將表示為關(guān)于x、y的函數(shù)，利用基本不等式求得取到最值時(shí)的條件，得到關(guān)于x，y的方程即為點(diǎn)的軌跡..

（1）

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，

又在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，

∴，取得最大值；

（2）過點(diǎn)作于，設(shè)點(diǎn)，其中，，

∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，

此時(shí)軌跡方程為，

其表示焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為8的等軸雙曲線在的一部分．