Question

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為.，曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）

【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的直角坐標(biāo)系方程，從而根據(jù)能求出曲線的極坐標(biāo)方程；由得到代入圓：，化簡可得曲線的直角坐標(biāo)方程（2）將代入，得，根據(jù)極坐標(biāo)的幾何意義，. 分別表示點(diǎn)，的極徑，因此求得，將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，再設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果.

（1）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消去參數(shù)得.

又 ，

即曲線的極坐標(biāo)方程為.

又由已知得

代入得

曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）將代入，得.

又直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

代入，整理得，

分別記兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則

，

.