Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若a＞-1，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=（x-a）[x-（a+1）]，列出f′（x），f（x）隨x的變化情況表，由表易知x=a時(shí)f（x）取得極大值，即a=1；
（Ⅱ）當(dāng)a＞-1時(shí)a+1＞0，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系分情況進(jìn)行討論：a≥1時(shí)，0＜a＜1時(shí)，a=0時(shí)，-1＜a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)易判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得最大值，綜合以上各種情況可得結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?nbsp;f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f'（x）=0，得x₁=（a+1），x₂=a，
所以f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以a=1；
（II） 因?yàn)閍＞-1，所以a+1＞0，
當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≥0對(duì)x∈[0，1]成立，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在x∈（a，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
當(dāng)a=0時(shí)，在x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值f（0）=0；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，在x∈（0，a+1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在x∈（a+1，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
又f(0)=0，f(1)=a2-

1

6

，
當(dāng)-1＜a＜-

6

6

時(shí)，f（x）在x=1時(shí)取得最大值f(1)=a2-

1

6

，
當(dāng)-

6

6

＜a＜0時(shí)，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0，
當(dāng)a=-

6

6

時(shí)，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0．
綜上所述，當(dāng)a≥1或-1＜a＜-

6

6

時(shí)，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2，
當(dāng)a=-

6

6

時(shí)，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0，
當(dāng)-

6

6

＜a≤0時(shí)，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查分類討論思想，解決（Ⅱ）問(wèn)時(shí)可借助圖形分析極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系，由此對(duì)a展開(kāi)討論．