Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a為常數(shù)）；
（1）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）設(shè)a＞0，問是否存在x0∈(-1，

a

3

)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別求出y=f（x）和y=g（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)條件建立等量關(guān)系，解方程即可；
（2）假設(shè)存在，即存在x∈（-1，

a

3

），使得f（x）-g（x）＞0，只需研究f（x）-g（x）的符號(hào)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
則f′（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，得x=a或

a

3

，
而g（x）在x=

a-1

2

處有極大值，
∴

a-1

2

=a?a=-1，或

a-1

2

=

a

3

?a=3；
綜上：a=3或a=-1．
（2）假設(shè)存在，即存在x∈（-1，

a

3

），
使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
當(dāng)x∈（-1，

a

3

）時(shí)，又a＞0，故x-a＜0，
則存在x∈（-1，

a

3

），使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°當(dāng)

a-1

2

＞

a

3

即a＞3時(shí)，(

a

3

)2+(1-a)

a

3

+1＜0得a＞3或a＜-

3

2

，
∴a＞3；
2°當(dāng)-1≤

a-1

2

≤

a

3

即0＜a≤3時(shí)，

4-(a-1)2

4

＜0得a＜-1或a＞3，
∴a無解；綜上：a＞3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．