Question

（本題滿分16分）

.已知數(shù)列和滿足： =λ, =其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).為數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明:數(shù)列不是等比數(shù)列；（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)λ，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求.（3）設(shè)（為給定的實(shí)常數(shù)）,是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（16分）

（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有,   

即

（）²=²

矛盾.所以｛a_n｝不是等比數(shù)列. 

（2）因?yàn)閎_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=-(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n  

當(dāng)λ≠－18時(shí)，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，

∴(n∈N⁺).

故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列 。，

當(dāng)λ=－18時(shí)，，

（3）由（2）知，當(dāng)λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.            

∴λ≠-18，

要使a<S_n<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺) 

  

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=, f(n)的最小值為f(2)= ,  

于是，由①式得a<-(λ+18)<          

當(dāng)a<b3a時(shí)，由－b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；          

當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3a-18）。